Question

（本小题满分14分）已知函数，.（其中为自然对数的底数），

（Ⅰ）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）若对于任意实数≥0，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，是否存在实数，使曲线C：在点

处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）＝－1；（2）；（3）不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）， …1分 , 在处的切线的斜率为，…2分

又直线的斜率为，      ………………………3分

∴（）＝－1，∴ ＝－1.       ……………………5分

（Ⅱ）∵当≥0时，恒成立，∴ 先考虑＝0，此时，，

可为任意实数；     ………………………6分

又当＞0时，恒成立，则恒成立，  …………7分

设＝，则＝，

当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，故当＝1时，取得极大值，， ………9分

∴ 要使≥0，恒成立，＞－，∴ 实数的取值范围为．  …10分

（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为，

令＝，则＝

设，则，

当，，故在上的最小值为，…………………12分

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，则＝0，矛盾。 …13分

所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.…14分

考点：导数的几何意义；直线垂直的条件；导数在研究函数中的应用。