Question

（14分）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．

（1）求曲线的方程；

（2）设点、的横坐标分别为、，证明：；

（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围。

Answer

（1）；（2）联立方程组，

整理，得，解得或．所以．同理可得，，所以．   （3）。

【解析】

试题分析：依题意可得，．…………………1分

设双曲线的方程为，

因为双曲线的离心率为，所以，即．

所以双曲线的方程为．…………………3分

（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），

则直线的方程为，…………………4分

联立方程组………………………5分

整理，得，

解得或．所以．…………………6分

同理可得，…………………………7分

所以．…………………………8分

证法2：设点、（，，），

则，．………………………………4分

因为，所以，即．………………5分

因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．

即，．………………6分

所以，即．………………7分

所以．…………………………………8分

证法3：设点，直线的方程为，……………4分

联立方程组………………………5分

整理，得，

解得或．………………………6分

将代入，得，即．

所以．……………………………8分

（3）【解析】
设点、（，，），

则，．

因为，所以，即．………9分

因为点在双曲线上，则，所以，即．

因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．…………10分

因为，，

所以．………11分

由（2）知，，即．

设，则，

．

设，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

因为，，

所以当，即时，…………12分

当，即时，．…………………………13分

所以的取值范围为．…………………………………14分

说明：由，得，给1分．

考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质。