Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.

（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？

（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

Answer

（1）；（2）当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

【解析】

试题分析：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；

出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），     2分

因此本年度的利润为

即：  6分

由，     得       8分

（2）本年度的利润为

则         10分

由 

当是增函数；当是减函数.

∴当时，万元，      12分

因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，       14分

所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．      16分

考点：函数的实际应用题；利用导数研究函数的单调区间、极值和最值。