Question

已知函数(a为实常数).

(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；

(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；

(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）当时，，当，；

（2）当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，

的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，

相应的x值为．

（3）。

【解析】

试题分析：（1）当时，，当，，

故函数在上是增函数．         4分

（2），当，．

若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．                6分

若，当时， ；当时，，此时

是减函数； 当时，，此时是增函数．故

．

若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．    8分

综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，

的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，

相应的x值为．        10分

（3）不等式，可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而（）      12分

令（），又，       14分

当时，，，

从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，

故的最小值为，所以a的取值范围是．      6分

考点：利用导数研究函数的单调性及最值；二次函数的性质；二次含参不等式的解法。