Question

如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

（Ⅲ）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？

Answer

（Ⅰ）平面平面,平面

平面平面平面（II）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（I）证明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．            

平面，平面平面………4分

（II）根据（Ⅰ）的证明，有平面，

为在平面内的射影,

因此，为直线与平面所成的角  ……………6分

，四边形为等腰梯形，

过点作，交于．

,，则．

在中，根据射影定理，得．

，．

直线与平面所成角的大小为．       …………8分

（Ⅲ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为则 ,又

设平面的法向量为，则,．

即    令，解得

 ………………………………..10分

由（I）可知平面，取平面的一个法向量为，依题意 与的夹角为，即， 解得

因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为.…12分

考点：线面垂直的判定与性质及线面角，二面角的求解