Question

（本题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角；

（Ⅲ）设点在棱上，  ,若∥平面，求的值.

Answer

（Ⅰ）先根据证明，再证明从而得证。

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】【方法一】（1）证明：由题意知 则

（4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.过作//交于过点作交于,则∠为直线与平面所成的角. 在Rt△中，∠，

∴，∴∠.即直线与平面所成角为（8分）

（3）连结，∵∥，

∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即（12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

∵，∴ （4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.设

则

即直线为. （8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

 进而得，

由,得∴

（12分）