Question

（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，

求面积的最大值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，

所以，                                     1分

又椭圆的离心率为，即，所以，        2分

所以，.                                        4分

所以，椭圆的方程为.                      5分

（Ⅱ）不妨设的方程，则的方程为.

由得，            6分

设，，因为，所以， 7分

同理可得，                                     8分

所以，，          10分

，                       12分

设，则，                 13分

当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.

考点：椭圆方程及其性质，直线与椭圆相交问题