Question

（12分）设为实数，函数,.

（1）求的单调区间与极值；

（2）求证：当且时，.

Answer

（1）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值为（2）设，于是，取最小值为

在R内单调递增，有，而，有故

【解析】

试题分析：（Ⅰ）【解析】
由知。  …2分

令，得。于是，当变化时，和的变化情况如下表：

0

+

单调递减

单调递增

 ……………………………4分

故的单调递减区间是，单调递增区间是。在处取得极小值。极小值为                 ……………6分

（Ⅱ）证明：设，于是。

由（Ⅰ）知当时取最小值为

于是对任意,都有，所以在R内单调递增。        ……8分

于是，当时，对任意，都有，而 ………10分

从而对任意，都有。即故12分

考点：函数单调区间极值及利用单调性最值证明不等式