Question

（满分15分）动圆过定点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过作曲线两条互相垂直的弦，设的中点分别为、.

（1）求曲线的方程；

（2）求证：直线必过定点.

Answer

（1）（2）联立方程组，求出再求出直线，从而得证.

【解析】

试题分析：（1）设，根据题意有，

化简得.                                                        ……6分

（2）设，代入得

，

因为是线段的中点，所以，,

故.                                                     ……10分

因为，所以将点坐标中的换成，即得，

则 ，整理得,

故不论为何值，直线必过定点.                             ……15分

考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解、直线与抛物线的位置关系、韦达定理、中点坐标公式、直线方程的求解和直线过定点问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.