Question

设函数=（为自然对数的底数），，记．

（1）为的导函数，判断函数的单调性，并加以证明；

（2）若函数=0有两个零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）在上单调递增．（2）实数a的取值范围是（0，2）。

【解析】

试题分析：（1），∴，

令，则，

∴在上单调递增，即在上单调递增．

（2）由（1）知在上单调递增，而，

∴有唯一解，

的变化情况如下表所示：

x

0

－

0

＋

递减

极小值

递增

又∵函数有两个零点，

∴方程有两个根，即方程有两个根 

而，，

解得．

所以，若函数有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）

考点：本题主要考查了导数的运算，导数在函数单调性中的应用，函数零点。