Question

（本题满分13分）

设点P是圆x² +y² =4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP₀，垂足为P_o，且．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．

（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．

Answer

（Ⅰ）.（Ⅱ）（i）.（ii）直线过定点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设点，，则由题意知.

由，，且，

得.

所以于是

又，所以.

所以，点M的轨迹C的方程为.……………………（3分）

（Ⅱ）设， .

联立

得.       

所以，，即.    ①

且       ………………………………（5分）

（i）依题意，，即.

.

，即.

，，解得.

将代入①，得.

所以，的取值范围是.   ……………………（8分）

（ii）曲线与轴正半轴的交点为.

依题意，， 即.

于是.

，即，

.

化简，得.

解得，或，且均满足.

当时，直线的方程为，直线过定点(舍去)；

当时，直线的方程为，直线过定点.

所以，直线过定点.   ………………………………（13分）

考点：本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系。