Question

（本题满分14分）

已知函数f（x）=lnx+

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设mR，对任意的a∈（-l，1），总存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma － (x_o)<0成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）证明：ln² l+ 1n²2,+…+ln² n>∈N*）．

Answer

（Ⅰ）函数的单调递减区间是.

（Ⅱ）的取值范围是.

（Ⅲ）见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）.

令，得，因此函数的单调递增区间是.

令，得，因此函数的单调递减区间是.…………（4分）

（Ⅱ）依题意，.

由（Ⅰ）知，在上是增函数，

.

，即对于任意的恒成立.

解得.

所以，的取值范围是.   …………………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ），

，.

.

即.

又，

.

.

由柯西不等式，.

..     ……………………（14分）

考点：本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用， 柯西不等式的应用。