Question

(本小题满分13分)

已知函数

（1）判断的单调性；

（2）记若函数有两个零点，求证

Answer

（1）在递增；

（2）由（1）可知，由题意：，

，两式相减得：，即有，

又因为，所以（9分）

现考察，令，设，则，所以在递增，所以，             （11分）

即，又因为，

所以

【解析】

试题分析：（1）原函数定义域为，，          （2分）

记

，               （3分） 

当时，，在递减，

当时，，在递增，                            

，即当,在递增（6分）

（2）由（1）可知，由题意：，

，两式相减得：，即有，

又因为，所以（9分）

现考察，令，设，则，所以在递增，所以，             （11分）

即，又因为，

所以                   （13分）

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。