Question

(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．

Answer

（I）；

（II）是函数y的极小值点，也是最小值点。

（2）当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时。

【解析】

试题分析：（I）设容器的容积为V，

由题意知

故

由于

因此…………………………………………………………………….3分

所以建造费用

因此………………………………………..5分

（II）由（I）得

由于

当

令

所以………………………………….7分

（1）当时，

所以是函数y的极小值点，也是最小值点。………………….10分

（2）当即时，

当函数单调递减，

所以r=2是函数y的最小值点，

综上所述，当时，建造费用最小时

当时，建造费用最小时………………13分

考点：本题主要考查导数在实际问题中的应用，利用导数求函数的最值，几何体特征及体积计算。