Question

(本小题满分13分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，）在椭圆上，。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围。

Answer

（1）；（2）S。

【解析】

试题分析：（1）因为椭圆E: （a>b>0）过M（2，） ，2b=4

故可求得b=2,a=2  椭圆E的方程为      ……2分

（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为，

解方程组得,即,

则△=,

即（*）……………………4分

,要使,需使,即,

所以, 即   ①………………………7分

将它代入（*）式可得……………………………8分

P到L的距离为

又

将及韦达定理代入可得……………………10分

当时

由 故……………12分

当时,

当AB的斜率不存在时,  ,

综上S……………………………13分

考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系。