Question

（本小题满分13分）已知函数，．

（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；

（Ⅱ）求证: 当时，有；

（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.

Answer

（Ⅰ）当时，取得最大值；

（Ⅱ）当时，．由（1）知：当时，，即．

因此，有．

（Ⅲ）整数的最大值是. 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）,所以 ．

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；           ………………3分

（Ⅱ）当时，．由（1）知：当时，，即．

因此，有．………………7分

（Ⅲ）不等式化为所以

对任意恒成立．令，则，

令，则，所以函数在上单调递增．

因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以．故整数的最大值是.     ……………13分

考点：本题主要考查了导数的运算、导数在函数单调性及不等式中的应用。