Question

已知函数，（为自然对数的底数）。

（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围。

Answer

（1）最大值为0，最小值。（2）。

【解析】

试题分析：（1）当时，，，…………2分

则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，……………

又，则，        ………………5分

。                           …………………6分

（2），则函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，

又，则函数的值域为。………………8分

则转化为：当时，在区间上有两个不同的根。…………9分

而。

当时，函数在区间上为减函数，不符合题意。…………………10分

当时，有，函数在区间上为减函数，

不符合题意。                                         ………………………11分

当时，有，此时函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，而当趋于零时，趋于正无穷，且最小值为。

要使在区间上有两个不同的根，则。 ………12分

又，且，故只要，得。

而，从而有。          ……14分

考点：利用导数研究函数的单调区间和最值；导数的综合应用。