Question

（本小题满分12分）

某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体（如图）. 该建筑物的正视图和侧视图（如图）, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.

（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求该建筑物的体积.

Answer

（1）直线与平面所成角的正弦值为.

（2）二面角的余弦值为.（3）建筑物的体积为.

【解析】

试题分析：解法1：（1）作平面，

垂足为，连接，则是直线与平面所成的角.  ………………1分

由于平面平面，

故是直线与平面所成的角.……2分

作，垂足为，连接，

∵平面，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

由题意知，

在Rt△中，，

在Rt△ 中，，在Rt△ 中，，

∴直线与平面所成角的正弦值为.        ………………………… 4分

（2）延长交于点，连接，由（1）知平面

∵平面，∴.∵，∴. 

∴是二面角的平面角.        ………………………… 6分

在△中，，∵，∴.

∴二面角的余弦值为.             …………………………… 8分

（3）作交于点，作交于点，由题意知多面体可分割为两个等体积的四棱锥和和一个直三棱柱.

四棱锥的体积为，

直三棱柱的体积为， 

∴多面体的体积为.         ……………10分

长方体的体积为.   ………… 11分

∴建筑物的体积为.  …………………… 12分

解法2：（参照解法1评分）

（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），

作平面，垂足为，作，垂足为，依题意知，,

则，.

∴.

∵平面，∴平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，则. 

∴直线与平面所成角的正弦值为.

（2）由(1)知,设平面的法向量为，

由， ，得取平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，由，，得

∴平面的一个法向量为.

∵，   ∴二面角的余弦值为.

（3）（同解法1） 略

考点：本题主要考查立体几何中的基本问题，空间向量的应用。