Question

（本小题满分12分）

如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.

（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.

Answer

（Ⅰ）.（Ⅱ）椭圆与椭圆是相似椭圆. 证明见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）椭圆的离心率为， 抛物线的焦点为. 

设椭圆的方程为，由题意，得： ，解得，

∴椭圆的标准方程为 .                        ………………………………4分

（Ⅱ）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆.                 ………………………………5分

联立和的方程，，消去，得，   ……6分

设的横坐标分别为，则.  

设椭圆的方程为，      …………………………………7分

联立方程组，消去，得,

设的横坐标分别为，则. 

∵弦的中点与弦的中点重合，∴，，

∵，∴化简得， ……………………………10分

求得椭圆的离心率，    ………………………12分

∴椭圆与椭圆是相似椭圆.

解法二：（参照解法1评分）

设椭圆的方程为，.

∵在椭圆上，∴且，两式相减并恒等变形得. 

由在椭圆上，仿前述方法可得.

∵弦的中点与弦的中点重合，

∴，求得椭圆的离心率， 即椭圆与椭圆是相似椭圆.

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系。