Question

（本小题满分12分）

设定义在区间上的函数的图象为，是上的任意一点，为坐标原点，设向量=，，，当实数λ满足x="λ" x₁+(1－λ) x₂时，记向量=λ+(1－λ)．定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指 “恒成立”，其中是一个确定的正数．

（1）求证：三点共线;

（2）设函数在区间[0，1]上可在标准下线性近似，求的取值范围；

（3）求证：函数在区间上可在标准下线性近似.

（参考数据：=2.718，）

Answer

（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三点共线。

（2）k的取值范围是．（3）见解析。

【解析】

试题分析：（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三点共线。  ………… 2分

（2）由x="λ" x1+(1－λ) x2与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同．…4分

对于 [0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)， 则，故；

所以k的取值范围是．                     ……………………………………………  6分

（3）对于上的函数，A()，B()，    

则直线AB的方程，        ………………………………………………8分

令，其中，于是， …10分

列表如下：

x

em

(em，em+1－em)

em+1－em

(em+1－em，em+1)

em+1

+

0

－

0

增

减

0

则，且在处取得最大值，

又0.123，从而命题成立． …………………………………12分

考点：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；向量的共线定理．