Question

（本小题满分14分）已知函数处取得极值2。

(Ⅰ)求函数的表达式；

（Ⅱ）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？

（Ⅲ）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围

Answer

(Ⅰ)。

（Ⅱ）当时，函数在区间上单调递增。

（Ⅲ）直线的斜率的取值范围是。

【解析】

试题分析：(Ⅰ)因为     ·········2分

而函数在处取得极值2，

所以， 即 解得 

所以即为所求          ············4分

（Ⅱ）由（1）知

令得：

则的增减性如下表：

（-∞，-1）

（-1，1）

（1，+∞）

负

正

负

可知，的单调增区间是[-1，1]，    ·····6分

所以

所以当时，函数在区间上单调递增。  ·········9分

（Ⅲ）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：

          11分

令，则，

此时，的图象性质知：

当时，；

当时，

所以，直线的斜率的取值范围是   ···········14分

考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值及单调性。