Question

（本小题满分13分）

如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

(Ⅲ)设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.

Answer

(Ⅰ)， 平面 (Ⅱ) (Ⅲ)坐标为，

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 因为平面，所以.                  ……2分

因为是正方形，所以，

又相交

从而平面.                                                  ……4分

(Ⅱ)因为两两垂直，

所以建立空间直角坐标系如图所示.

因为与平面所成角为，即，                    ……5分

所以.

由可知，.                                   ……6分

则，，，，，

所以，，                              ……7分

设平面的法向量为，则，即，

令，则.                                            ……8分

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.                            ……9分

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.              ……10分

(Ⅲ)点是线段上一个动点，设.

则，

因为平面，

所以，                                                    ……11分

即，解得.                                        ……12分

此时，点坐标为，，符合题意.                   ……13分

考点：本小题主要考查线面垂直的证明、二面角的求解和探索性问题的求解，考查学生的空间想象能力和运算求解能力以及推理论证能力.