Question

（本题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求证：函数在上单调递增；

（2）若函数有三个零点，求的值；

（3）若存在，使得，试求的取值范围。

Answer

（1）证明：，由于所以故函数在上单调递增（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）

由于，故当时，，所以，

故函数在上单调递增-----------------------------------4分

（2）当时，因为，且在R上单调递增，

故有唯一解

所以的变化情况如下表所示：

x

0

－

0

＋

递减

极小值

递增

又函数有三个零点，所以方程有三个根，

而，所以，解得 -----------8分

（3）因为存在，使得，

所以当时，

由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，

所以当时，，

而，

记，因为（当时取等号），

所以在上单调递增，而，

所以当时，；当时，，

也就是当时，；当时，

①当时，由，

②当时，由，

综上知，所求的取值范围为------------------12分

考点：函数单调性零点及最值