Question

（12分）如图所示，椭圆C： 的离心率，左焦点为右焦点为，短轴两个端点为．与轴不垂直的直线与椭圆C交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且．

（1）求椭圆 的方程；

（2）求证直线 与轴相交于定点，并求出定点坐标．

（3）当弦 的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值。

Answer

（1）．（2）直线 与轴相交于定点（0，2）；（3）。

【解析】

试题分析：（1）由题意可知：椭圆C的离心率，

故椭圆C的方程为．…………………………………………………2分

（2）设直线的方程为，M、N坐标分别为

由得

∴…………………………………………………4分

∵．

∴

将韦达定理代入，并整理得，解得．

∴直线 与轴相交于定点（0，2）………………………………………………7分

（3）由（2）中，其判别式，得．①

设弦AB的中点P坐标为，则，

弦 的中点落在内（包括边界）

将坐标代入，整理得 

解得 ②由①②得所求范围为……………………………………12分

考点：本题主要考查椭圆标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，不等式组解法。