Question

（本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为，，且短轴一顶点B满足，

（Ⅰ） 求椭圆的方程；

（Ⅱ）过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）=1；（Ⅱ）直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题，设椭圆方程为=1（a>b>0），不妨设B（0，b），

则，

故椭圆方程为=1；

（Ⅱ） 设M，N,不妨设>0, <0,设△MN的内切圆半径为R，

则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由得+6my-9=0，

则==，

令t=,则t≥1,则,

令f（t）=3t+，则f′（t） =3-，当t≥1时，f′（t）≥0,f（t）在［1,+∞）上单调递增，

故有f（t）≥f（1）="4," ≤=3,

即当t=1,m=0时，≤="3," =4R，∴=，

这时所求内切圆面积的最大值为π．

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π。

考点：椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。