Question

（本小题满分12分）已知函数，

（Ⅰ） 若a =1，求函数的图像在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）如果当且时，恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，增区间为；

当时，增区间为，增区间为；

（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：由题，

（Ⅰ）当 a =1时，，，

函数的图像在点处的切线方程为；

（Ⅱ）设

①当时，故增区间为；

若设设两根分别为，

② 当时，，所以增区间为；

③当时，，所以增区间为，增区间为；

综上，当时，增区间为；

当时，增区间为，增区间为；

（Ⅲ）可化为，设由（Ⅱ）可知：

①若有，由单调性，对，此时，，

同理，对，此时，，

所以符合题意；

②若有，可知则对，此时，，

不符合题意；

综上，符合题意的。

考点：导数的几何意义；曲线的切线方程的求法；利用导数研究函数的单调性。