Question

某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线的标准方程；（6分）

（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）

Answer

（1） ；（2）点的坐标为或。

【解析】

试题分析：（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆         3分

又，则，故                     5分

所以曲线的方程是                           6分

（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，

因此设此时距、两岛的距离分别比为             7分

即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。       8分

设，，由 ，    10分

，                                     12分 

                                     13分

点的坐标为或                 14分

考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，椭圆与圆的位置关系。