Question

已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．

（Ⅰ）证明：//平面；

（Ⅱ）证明：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO．                                      ……1分

O为BD中点，E为PD中点，

∴EO//PB．                                                              ……2分

EO平面AEC，PB平面AEC，                                          ……3分

∴ PB//平面AEC．                       

（Ⅱ）

证明：

PA⊥平面ABCD．平面ABCD，

∴．                                                           ……4分

又在正方形ABCD中且，                         ……5分

∴CD平面PAD．                                                        ……6分

又平面PCD，

∴平面平面．                                               ……7分

（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空

间直角坐标系．

                                          ……8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．                                  ……9分

PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．

设平面AEC的法向量为, ,

则  即 

∴

∴令,则.                                            ……11分

∴,                             ……12分

二面角的正弦值为.                                      ……13分

考点：本小题主要考查线面平行和面面垂直的证明和二面角的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.