Question

（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，经过点，,且抛物线的焦点为.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 垂直于的直线与椭圆交于,两点，当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程和圆的方程.

Answer

（1）

（2），或，

【解析】

试题分析：（1） 设椭圆的方程为，

则由椭圆经过点，,有，①

∵抛物线的焦点为，∴ ， ②

又 ③，

由①、②、③得，

所以椭圆的方程为.                                        ……5分

（2） 依题意，直线斜率为1，

由此设直线的方程为，代入椭圆方程，得.

由，得.

 记， =，=，

圆的圆心为，即, ，

半径，

当圆与轴相切时，，即，，

当时，直线方程为，此时，，圆心为(2，1)，半径为2，圆的方程为；

同理，当时，直线方程为，

圆的方程为.                                  ……13分

考点：本小题主要考查椭圆与抛物线基本量之间的关系和椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、直线与圆的位置关系、直线与圆的方程的求解，考查了学生综合运算所学知识分析问题、解决问题的能力和数形结合数学思想的应用以及运算求解能力.