Question

（本小题满分12分）已知函数，，，其中且.

（I）求函数的导函数的最小值；

（II）当时，求函数的单调区间及极值；

（III）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.

Answer

（I）；（II）单调增区间是，；单调减区间是；处取得极大值，在处取得极小值.（III）。

【解析】

试题分析：（I），其中.

  因为，所以，又，所以，

  当且仅当时取等号，其最小值为. 2……………………4分

 （II）当时，，.…5分

  的变化如下表：

0

0

所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是.……7分

函数在处取得极大值，在处取得极小值.……8分

（III）由题意，.

不妨设，则由得. 

令，则函数在单调递增.10分

在恒成立.

即在恒成立.

因为，因此，只需.

解得.  故所求实数的取值范围为.  …12分

考点：基本不等式；求导公式及运算法则；利用导数判断函数的单调性；利用导数求函数的极值。