Question

 如图，已知：椭圆的中心为，长轴的两个端点为，右焦点为，．若椭圆经过点，在上的射影为，且△的面积为5．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知圆：=1，直线=1，试证明：当点在椭圆上

运动时，直线与圆恒相交；并求直线被圆截得的弦长的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，弦长的取值范围为[]

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为，

由，且∴ ，得.（1）

由题意，设点坐标，在上，代入得 ∴． 由△ABC的面积为5，得，=5.（2）

解（1）（2）得 ∴=9—4=5．

∴所求椭圆的方程为：．                                ……6分

 (Ⅱ) 圆到直线=1距离，

由点在椭圆上，则，

显然，∴1，>1,

∴，

而圆的半径为1，直线与圆恒相交．                              ……12分

弦长=2=2,由得，

∴, =2,

 ，∴，，∴ ，

弦长的取值范围是[]．                                    ……16分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与圆的位置关系的判断和弦长公式的应用，考查学生的运算求解能力和数学结合思想的应用.