Question

设数列的前n项和为，且满足＝2－，＝1，2，3，…．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足＝1，且＝＋，求数列的通项公式；

（3）设，求数列的前项和为．

Answer

（1）＝( n∈)（2）＝ (＝1，2，3，…)

（3）8－

【解析】

试题分析：（1）因为＝1时，＋＝＋＝2，所以＝1．

因为＝2－，即＋＝2，所以＋＝2．

两式相减：－＋－＝0，即－＋＝0，故有＝．

因为≠0，所以＝( n∈)．

所以数列是首项＝1，公比为的等比数列，

所以＝( ∈)．                                            ……5分

（2）因为＝＋( n＝1，2，3，…)，所以－＝．从而有

＝1，＝，＝，…，＝( ＝2，3，…)．

将这－1个等式相加，得

－＝1＋＋＋…＋＝＝2－．(＝2，3，…)．

又因为＝1，所以＝3－( ＝2，3，…)．

经检验，对=1也成立，

故＝3－ = (＝1，2，3，…)．                        ……10分

（3）因为＝，

所以＝．   ①

＝．       ②

①－②，得＝－． 

故＝－＝8－－＝8－( n＝1，2，3，…)．

……15分

考点：本小题主要考查由递推关系式求数列的通项公式、等差等比数列的通项公式和错位相减法求数列的前n项的和，考查了学生对基础知识的掌握和灵活应用能力以及运算求解能力.