Question

(本题满分12分) 如图，平面⊥平面，其中为矩形，为梯形，∥，⊥，＝＝2＝2，为中点．

(Ⅰ) 证明；

(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为，求的长．

Answer

(Ⅰ) 证明见解析(Ⅱ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由已知为正三角形，为中点，所以 ，

因为平面⊥平面，平面⊥平面,

所以平面，所以.                                             ……4分

(Ⅱ) 方法一：设．取的中点，由题意得．

因为平面⊥平面，，所以⊥平面，

所以,所以⊥平面．

过作，垂足为，

连结，则，

所以为二面角的平面角．                                          ……8分

在直角△中，，得．

在直角△中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以＝．

在直角△中，，＝，得＝．

因为＝＝，得x＝，所以＝．                       ……12分

方法二：设．以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系．

则 (0，0，0)，(－2，0，0)，(，0，0)，(－1，，0)，(－2，0，)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－)．

因为⊥平面，所以平面的法向量可取＝(0，1，0)．

设＝为平面的法向量，则

所以，可取＝(，1，)．因为cos<，>＝＝，

得x＝，所以＝．                                                    ……12分

考点：本小题主要考查线面垂直的证明和二面角的应用，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.