Question

（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）试证明：（）。

Answer

（Ⅰ）在区间上是减函数；（Ⅱ）；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，

由 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题 …………（3分）

故在区间上是减函数        …………………（4分）

（Ⅱ）当时，在上恒成立，取，则，  ……………………（6分）

再取则   …………（7分）

故在上单调递增，

而，……………（8分）

故在上存在唯一实数根，

故时，时，

故故  ……………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，

又

即：  ………………（14分）

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式。