Question

 (本小题12分) 如图四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底边长均为a，

且∠A₁AD=∠A₁AB=60°。

①求证四棱锥 A₁-ABCD为正四棱锥；

②求侧棱AA₁到截面B₁BDD₁的距离；

③求侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的锐二面角大小。

Answer

（1）因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，所以O是底面正方形ABCD的中心，因此证明。

（2）a

（3）arctan。

【解析】

试题分析：（1）由AA1＝AD＝AB，及∠A1AD＝∠A1AB＝60°△A1AD、△AA1B都是正三角形，从而AA1＝A1D＝A1B，设A1在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，所以O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，所以O是底面正方形ABCD的中心。所以四棱锥A1—ABCD是正四棱锥。

（2）由DB⊥平面AA1O截面BB1D1D⊥平面AA1O点O与侧棱AA1的距离d等于AA1和截面BB1D1D之间的距离。取AA1的中点M，则OM∥A1C，且OM⊥AA1，OM＝A1C＝a，∴所求距离为a。

（3）注意到所求二面角的棱是B1B，由M是AA1的中点MB⊥AA1，B1B∥AA1MB⊥B1B，又DB⊥AA1，AA1//B1BDB⊥B1B，

∴∠MBD是所求二面角的平面角。不妨设AB＝a＝2，则BD＝2，MB＝MD＝，

∴tanMBD＝。

∴侧面A1ABB1与截面B1BDD1的夹角为arctan。

考点：本试题考查了距离和角的求解运用。