Question

(本小题14分) 已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1。

（1）求a，b，c的值；

（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；

（3）求证：曲线y=f（x）上不存在两个不同的点A，B，使过A， B两点的切线都垂直于直线AB。

Answer

（1），b=0

（2）因为，那么可以运用函数单调性放缩来得到解决问题。

（3）对于探索性试题的分析，假设存在，然后根据过A，B两点的切线平行，得到斜率相等，同时根据过A，B两点的切线都垂直于直线AB

，则斜率之积为-1，得到方程，通过方程无解说明假设不成立，进而得到证明。

【解析】

试题分析：（1）函数是定义在R上的奇函数，

∴即对于恒成立，

∴b=0

∴

∵x=-1时，函数取极值1，∴3a+c=0，-a-c=1

解得：

（2）

＜0，∴

（3）设

∵过A，B两点的切线平行，

∴可得

∵，∴，则

由于过A点的切线垂直于直线AB，

∴

∴∵△=-12＜0

∴关于x1的方程无解。

∴曲线上不存在两个不同的点A，B，过A，B两点的切线都垂直于直线AB

考点：本试题考查了导数的运用。