Question

（本小题满分14分）

已知函数，，满足，.

(1)求，的值；

(2)若各项为正的数列的前项和为，且有，设，求数列的前项和；

(3)在(2)的条件下，证明：.

Answer

(1)，

(2)

(3)通过构造函数，利用导数的思想来分析函数单调性，进而得到证明。

【解析】

试题分析：【解析】
(1)由 ，

由代入可得，且.……………………………………………………2分

当时，（成立），当时，（舍去）.

所以，.…………………………………………………………………………4分

(2)，即.

时， .

所以，当时，由可得，

整理得，.

又得，且，

所以是首项为1，公差为1的等差数列，即，.

. ………………………………………………………………………………7分

，

，

由上两式相减得 .

. ……………………………………………………………………10分

(3)由(2)知，只需证.设(且).

则，

可知在上是递减，.

由，则，

故. …………………………………………………………………………14分

考点：数列的通项公式与前n项和的运用。