Question

（本小题满分14分）

已知数列满足：（其中常数）．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：当时，数列中的任何三项都不可能成等比数列；

（Ⅲ）设为数列的前项和．求证：若任意，

Answer

（1）an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)．（2）运用反证法思想 ，假设存在ar，as，at成等比数列，然后推理论证得出矛盾。

（3）运用数列的通项公式以及数列的错位相减法的求和来证明，不等式的成立。

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）当n＝1时，a1＝3．

当n≥2时，因为，             ①

所以．           ②

①－②得，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）．……………… 3分

又 a1＝3也适合上式，

所以an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)．                          …………………… 4分

（Ⅱ）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．

（反证法）假设存在ar，as，at成等比数列，

则[(2r＋1)·4r－1]· [(2t＋1)·4t－1]＝(2s＋1)2·42s－2．

整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 r＋t－2s＝(2s＋1)2．     

由奇偶性知r＋t－2s＝0．

所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．这与r≠t矛盾，

故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．        ……… 8分

（Ⅲ）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．

当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n．                  ………… 10分

当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，

λSn＝   3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．

(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2×－(2n＋1)λn

①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥3，结论显然成立；

②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2× －(2n＋1)λn＋λan

＝3＋2× 

而，和同号，故≥0

∴ 对任意都成立                        ………… 14分

考点：数列的通项公式与求和的运用