Question

（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知三点，，，曲线C上任意—点满足：．

(l)求曲线C的方程；

(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M,N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为，．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；

(3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点M (0,m)在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为(0,2)时，取得最小值，求实数m的取值范围．

Answer

(l)  (2)  (3)

【解析】

试题分析：（1）由题意可得，，

所以，

又，

所以，即. 

（2）因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称，

所以可设. 

因为在椭圆上，所以有

， ………① 

， ………②

①-②得

.

又,， 

所以，

故的值与点的位置无关，与直线也无关. 

（3）由于在椭圆上运动，椭圆方程为，故，且

.  因为，所以

．

由题意，点的坐标为时，取得最小值，即当时，取得最

小值，而，故有，解得．

又椭圆与轴交于两点的坐标为、，而点在线段上，       即，亦即，所以实数的取值范围是．

考点：求动点的轨迹方程及椭圆与直线相交的性质