Question

(本小题满分l2分)

如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC=60，EC面ABCD，FA面ABCD，G为BF的中点，若EG//面ABCD．

(1)求证：EG面ABF；

(2)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．

Answer

(1)∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM∴EGAB, EGAF,∴EG面ABF.

（2）

【解析】

试题分析：(1)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,

∵CE//AF,

∴CE//GM,

∵面CEGM面ABCD=CM,

EG// 面ABCD,

∴EG//CM,

∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM

∴EGAB, EGAF,

∴EG面ABF.

（2）建立如图所示的坐标系,设AB=2,

则B（）E(0,1,1) F（0，-1，2）

=(0，-2,1) , =(,-1，-1),   =(,1， 1),

设平面BEF的法向量=（）则

     令，则,

∴=（）                 

同理，可求平面DEF的法向量  =（-）

设所求二面角的平面角为，则

=.

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．