Question

（本小题满分12分）

设函数(为自然对数的底数)，（）．

（1）证明：；

（2）当时，比较与的大小，并说明理由；

（3）证明：（）．

Answer

（1）设，即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值。

（2）用数学归纳法证明即可；

（3）证明1：先证对任意正整数，，再证对任意正整数，

．

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立，以下可以数学归纳法证明。

【解析】                                                        

试题分析：（1）设，所以

当时，，当时，，当时，．

即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，…2分

因为，所以对任意实数均有 ．即，

所以

（2）当时，．用数学归纳法证明如下：

①当时，由（1）知。

②假设当（）时，对任意均有，

令，，

因为对任意的正实数，，

由归纳假设知，．

即在上为增函数，亦即，

因为，所以．从而对任意，有．

即对任意，有．这就是说，当时，对任意，也有．由①、②知，当时，都有．

（3）证明1：先证对任意正整数，．

由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．

再证对任意正整数，

．

要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

①当时，成立，所以不等式（*）成立．

②假设当（）时，不等式（*）成立，即．

则．

因为 

所以．

这说明当时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数，成立 。

考点：数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；二项式系数的性质。