Question

（本小题满分14分）

设函数，其中．

( I )若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；

(Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；

(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，

使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）时，在上为增函数，

时，在上为增函数，在为减函数（3）如果存在满意条件的、，则的取值范围是

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）令，则，即函数的图象恒过定点

则

（Ⅱ），定义域为，

=

=

，则

当时，

此时在上单调递增，

当时，由得

由得，

此时在上为增函数，

在为减函数，

综上当时，在上为增函数，

时，在上为增函数，在为减函数，

（Ⅲ）由条件（Ⅰ）知

假设曲线上存在两点、满足题意，则、两点只能在轴两侧

设，则

是以为直角顶点的直角三角形，

①

（1）当时，

此时方程①为，化简得.

此方程无解，满足条件的、两点不存在.

（2）当时，，方程①为

即

设，则

显然当时即在上为增函数，

的值域为，即，

综上所述，如果存在满意条件的、，则的取值范围是.

考点：本试题考查了导数的运用。