Question

（本小题满分14分）

如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，

平面，，分别是，的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，

求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

Answer

（1）延长交的延长线于点，连接∵∥，且∴为的中点. ∴∥.∴∥平面（2）

【解析】

试题分析：解法一：

（1）证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，

∴为的中点.  

∵为的中点，

∴∥. 

∵平面，平面，

∴∥平面. 

（2）【解析】
∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，. 

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.  

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.   

∴为平面 与平面所成二面角（锐角）.

在Rt△中，，.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

解法二：

（1）证明：取的中点，连接、.

∵为的中点，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.  

∴四边形是平行四边形.

∴∥.  

∵平面，平面，

∴∥平面.  

（2）【解析】
∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角. 

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大. 

∴当时，最大. 此时，.

∴.  

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.  

以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，

建立空间直角坐标系.

则，，，.

∴， ， .

设平面的法向量为，

由，，

得 

令，则.

∴平面的一个法向量为. 

∵平面， ∴是平面的一个法向量.

∴.   

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. 

考点：线面平行的判定及线面角二面角