Question

（本小题满分14分）

已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.

（1）求的值；

（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；

（3）若，且，求证：N

Answer

（1）（2）当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.

(其中, )

（3）① 当时，左边，右边，不等式成立；② 假设当N时，不等式成立，即，

则

. 

也就是说，当时，不等式也成立.

由①②可得，对N，都成立.

【解析】

试题分析：（1）【解析】
∵关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

∴.

∴.

∴.

∴.    

(2)解法1:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. 

方程（*）的判别式

.  

①时，，方程（*）的两个实根为

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点.

②当时，由,得或，

若，则

故时，，

∴函数在上单调递增.

∴函数没有极值点. 

若时，

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点.

综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. 

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且

至少有一个零点在上.

令,

得, (*)

则,(**)

方程（*）的两个实根为, .

设,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点.

②若,则得

又由(**)解得或,

故.

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点.

综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点 

(其中, )

(2)证法1：∵， ∴.

∴ 

.

令，

则

.

∵，

∴ 

.   

∴，即.   

证法2：下面用数学归纳法证明不等式.

① 当时，左边，右边，不等式成立；

② 假设当N时，不等式成立，即，

则

. 

也就是说，当时，不等式也成立.

由①②可得，对N，都成立.

考点：本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识