Question

(本小题满分12分）

已知函数的零点的集合为{0，1}，且是f（x）的一个极值点。

（1）求的值；

（2）试讨论过点P（m，0）与曲线y＝f（x）相切的直线的条数。

Answer

（1）；（2）当或时，，方程①有两等根或，此时，过点或与曲线相切的直线有两条；

当时，，方程①无解，此时过点与曲线相切的直线仅有一条；

当或时，，方程①有两个不同的实根，此时过点与曲线相切的直线有三条.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数的零点的集合为，则方程 的解可以为，或.

∴或.

①若，则.

当，或时，，函数为增函数；当，，函数为减函数；

∴，为函数的极值点．与题意不符．

②若，则

当，或时，，函数为增函数；当，，函数为减函数；

∴，为函数的极值点．

综上，函数，即，

而，故，∴               …6分

（Ⅱ）设过点的直线与曲线切于点，

由（Ⅰ）知，∴曲线在点处的切线方程为，

∵满足此方程，故，又

即，∴.

，或…①，关于的方程的判别式

当或时，，方程①有两等根或，此时，过点或与曲线相切的直线有两条；

当时，，方程①无解，此时过点与曲线相切的直线仅有一条；

当或时，，方程①有两个不同的实根，此时过点与曲线相切的直线有三条.                                         …12分

考点：函数的零点；函数的极值点；导数的几何意义；曲线的切线方程。