Question

（本小题满分15分）

给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．

（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；

（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；

（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．

Answer

（1）．（2）．（3）对于椭圆上的任意点，都有．

【解析】

试题分析：（1）由题意知，且，可得，

故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．  

（2）由题意，可设，则有，

又A点坐标为，故，

故

,                  

又，故，

所以的取值范围是．               

（3）设，则．

当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．

当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，

则的方程为，代入椭圆方程可得

，即，

由，       

可得，其中，

设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，

故，即．

综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．

考点：本题主要考查圆的方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。