Question

已知集合，其中，表示

的所有不同值的个数．

（1）已知集合，，分别求，；

（2）求的最小值．

Answer

（1）l(P)＝5 ，l(Q)＝6     

（2）对这样的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值为2n－3．

【解析】

试题分析：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，

得l(P)＝5 

由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，

得l(Q)＝6     

（2）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an，可得

a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an，

故ai＋aj (1≤i＜j≤n)中至少有2n－3个不同的数，即l(A)≥2n－3．

事实上，设a1，a2，a3，…，an成等差数列，考虑ai＋aj (1≤i＜j≤n)，根据等差数列的性质，当i＋j≤n时， ai＋aj＝a1＋ai＋j－1；当i＋j＞n时， ai＋aj＝ai＋j－n＋an；

因此每个和ai＋aj(1≤i＜j≤n)等于a1＋ak(2≤k≤n)中的一个，或者等于al＋an(2≤l≤n－1)中的一个．故对这样的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值为2n－3．

考点：本题主要考查集合的意义，等差数列的性质。