Question

（本小题满分14分）

已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．

Answer

（1）   （2）1  （3）

【解析】

试题分析：⑴因为，所以不等式即为，

又因为，所以不等式可化为，

所以不等式的解集为．

⑵当时,方程即为，由于，所以不是方程的解，

所以原方程等价于，令，

因为对于恒成立，

所以在内是单调增函数，

又，， ，

所以方程有且只有1个实数根， 在区间 ，

所以整数的值为 1．

⑶，

①  当时，，在上恒成立，当且仅当时

取等号，故符合要求；

②当时，令，因为，

所以有两个不相等的实数根，，不妨设，

因此有极大值又有极小值．

若，因为，所以在内有极值点，

故在上不单调．

若，可知，

因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，

必须满足即所以.

综上可知，的取值范围是．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．