Question

已知函数，则关于的方程（）的解的个数可能为               （写出所有可能的结果）．

Answer

4、5、6                  

【解析】

试题分析：易知的取值范围为，设，则时，为双钩函数的一支，最小值为2，在t=1时取到；当，f(t)的取值范围为，并且是单调递增。分别判断各种情况：，则只有当t>0时有根，此时t有两个解，而为二次函数，因此x有四个根；当a>3时，同上可知，只有t>0是有根，x有四个解；当时，此时t>0时有两个解，t<0时有一个解，因此x有六个根；当时，同上，此时在t>0时有两个解，而t<0时有一个解，但在t<0处x有唯一解，因此x有五个根。综上，该方程根的个数可能为4、5、6个，其余个数均不可能。

考点：双钩函数；基本不等式；二次函数的性质。函数图像的综合应用。