Question

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．

(1) 求证：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；

(2) 若AB₁⊥A₁C，求线段AC与AA₁长度之比；

(3) 若D是棱CC₁的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）只需证B1C1⊥平面AC1 ．（2）1：1．（3）点E位于AB的中点时。

【解析】

试题分析：（1）由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1;

又因为AC⊥BC ，所以B1C1⊥A1C1，所以B1C1⊥平面AC1 ．

由于B1C1平面AB1C1，从而平面AB1C1⊥平面AC1 ．

（2）由（1）知，B1C1⊥A1C ．所以，若AB1⊥A1C，则可

得：A1C⊥平面AB1C1，从而A1C⊥  AC1 ．

由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1：1．

（3）点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1．

证法一：设F是BB1的中点，连结DF、EF、DE．则易证：平面DEF//平面AB1C1，从而

DE∥平面AB1C1．

证法二：设G是AB1的中点，连结EG，则易证EGDC1. 所以DE// C1G，DE∥平面AB1C1．

考点：面面垂直的判定定理；线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理。